Σάββατο, 28 Ιουλίου 2007

ΤΗΝ ΚΥΡΙΑ 'Η ΤΗΝ ΤΙΓΡΗ;

Πριν μερικά χρόνια βρέθηκα στην Αθήνα για κάτι δουλειές και όταν ξεμπέρδεψα πήγα μια βόλτα απο τον Παπασωτηρίου. Εκείνη την εποχή οι αγορές μέσω internet δεν ήταν πολύ συνηθισμένες και ήταν ευκαιρία να αγοράσω κανένα καλό βιβλίο που δύσκολα θα έβρισκα στην Χίο (τότε έμενα εκεί). Μπήκα λοιπόν μέσα , και στο υπόγειο ανακάλυψα ένα βιβλίο που μου τράβηξε την προσοχή. Είχε τίτλο : '' ΤΗΝ ΚΥΡΙΑ 'Η ΤΗΝ ΤΙΓΡΗ; ''
''Τι είναι πάλι αυτό;'' σκέφτηκα. Όταν το πήρα στα χέρια μου διάβασα τον συμπληρωματικό τίτλο : ΚΑΙ ΑΛΛΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ. Να μην τα πολυλογώ το αγόρασα και όταν γύρισα στην βάση μου , προσπάθησα να το διαβάσω. Λέω ''προσπάθησα'' διότι η ανάγνωση και κυρίως η κατανόηση αυτού του βιβλίου δεν είναι και το πιο εύκολο πράγμα στον κόσμο...
Αργότερα ανακάλυψα ότι ο τίτλος του βιβλίου είναι εμπνευσμένος από το παραμύθι του Frank Stockton με τον ομώνυμο τίτλο. Στο παραμύθι ένας φυλακισμένος πρέπει να διαλέξει μεταξύ δύο δωματίων όπου στο ένα υπάρχει μέσα μία τίγρη και στο άλλο μια πανέμορφη κυρία. Αν διαλέξει το πρώτο θα τον φάει η τίγρη. Αν διαλέξει το δεύτερο θα παντρευτεί την κυρία.
Το βασικό θέμα λοιπόν του βιβλίου (μαθηματική νουβέλα το χαρακτηρίζει ο συγγραφέας του Smullyan Raymond) είναι η μαθηματική λογική και τα μαθηματικά παράδοξα στην ζωή και στον λόγο. Αν εξαιρέσουμε ένα μεγάλο αριθμό από μαθηματικούς γρίφους που δεν ''παλεύονται'' (τουλάχιστον από εμένα) , υπήρχαν και αρκετοί διασκεδαστικοί γρίφοι που με πολύ θέληση και προσπάθεια μπορούσες να τους λύσεις.
Αναφέρω ενδεικτικά έναν από αυτούς :
Ο βασιλιάς μια χώρας , γνωρίζοντας προφανώς το παραμύθι του Frank Stockton σκέφτηκε <<Να , ο τέλειος τρόπος να δοκιμάσω τους κρατούμενους μου>> . Έθεσε λοιπόν σε έναν κρατούμενο την εξής δοκιμασία :
Έχεις μπροστά σου αυτές τις τρεις πόρτες οι οποίες οδηγούν αντίστοιχα σε τρία δωμάτια. Την πόρτα Ι , την πόρτα ΙΙ και την πόρτα ΙΙΙ. Η πόρτα Ι γράφει: << ΣΕ ΑΥΤΟ ΤΟ ΔΩΜΑΤΙΟ ΥΠΑΡΧΕΙ ΜΙΑ ΤΙΓΡΗ>> . Η πόρτα ΙΙ γράφει: << ΣΕ ΑΥΤΟ ΤΟ ΔΩΜΑΤΙΟ ΥΠΑΡΧΕΙ ΜΙΑ ΚΥΡΙΑ>>. Η πόρτα ΙΙΙ γράφει: <<ΣΤΟ ΔΩΜΑΤΙΟ ΙΙ ΥΠΑΡΧΕΙ ΜΙΑ ΤΙΓΡΗ>> . Ο βασιλιάς διευκρίνισε ότι το πολύ ΜΙΑ πόρτα από τις τρεις έλεγε την αλήθεια. Σε ποιο δωμάτιο έπρεπε να μπει ο κρατούμενος , να πάρει την κυρία και να την παντρευτεί ;
Η λύση σε αυτόν τον γρίφο με λίγη πορσπάθεια βρίσκεται. Άλλωστε υπάρχουν και οι λύσεις στο τέλος κάθε κεφαλαίου. Αυτό που δεν μπορώ να διανοηθώ πως θα μπορούσε να λυθεί , είναι ο γρίφος που αναφέρει ο συγγραφέας στον πρόλογο του , απευθυνόμενος στους Έλληνες αναγνώστες. Τον παραθέτω αυτούσιο και αν κατά τύχη διαβάσει το ιστολόγιο κάποιος μαθηματικός ή μη , με ειδικές γνώσεις πάνω στις πιθανότητες ας προσπαθήσει να τον λύσει. Όχι τίποτα άλλο , αλλά τόσα χρόνια έχω την απορία και θα χαιρόμουν να μάθω την λύση!
Ο ''τρελός'' γρίφος του Raymond Smullyan για τους Έλληνες αναγνώστες του βιβλίου :
<< Ποια είναι η πιθανότητα τουλάχιστον δύο Έλληνες να έχουν ακριβώς το ίδιο πλήθος από Έλληνες φίλους; Σας βεβαιώνω ότι η πιθανότητα μπορεί να υπολογιστεί με απόλυτη ακρίβεια , χωρίς να απαιτείται να ξέρετε πόσοι Έλληνες υπάρχουν (εκτός από το ότι υπάρχουν τουλάχιστον δύο Έλληνες , κάτι που αποτελεί εύλογη παραδοχή - δεν νομίζετε;) . Επίσης θεωρήστε ότι η φιλία είναι αμοιβαία (δηλαδή , αν ο Γιώργος είναι φίλος του Δημήτρη , τότε και ο Δημήτρης είναι φίλος του Γιώργου) , καθώς και το ότι δεν υπολογίζουμε ένα πρόσωπο ως φίλο του εαυτού του. Λοιπόν ποια είναι η πιθανότητα ; >>

3 σχόλια:

tomorrow's patries είπε...

καλησπέρα!

Έστω:
Α={τουλάχιστον δύο Έλληνες να έχουν ακριβώς το ίδιο πλήθος από Έλληνες φίλους}

τότε, αν Α' είναι το συμπληρωματικό (η άρνηση)του ενδεχόμενου Α, θα' ναι: Α + Α' =1.

Αν υπάρχουν Ν έλληνες στον κόσμο, τότε το πλήθος Κ των ενδεχόμενων φίλων είναι ακριβώς Ν.
δηλαδή: Κ={0,1,2,3,4,...,Ν-1}*. Από 0 έως Ν-1 έχω πλήθος Ν.
*Οι αριθμοί στις αγκύλες αντιπροσωπέυουν το πλήθος των φίλων. κανένα (0), ένα (1), δύο(2),...,όλους τους Έλληνες του κόσμου εκτός από τον εαυτό του (Ν-1)

Έστω ότι κανένας έλληνας στον κόσμο δεν έχει ακριβώς το ίδιο πλήθος φίλων, δηλαδή, έστω ότι συμβαίνει η άρνηση του Α, δηλαδή, το ενδεχόμεο Α'.
Τότε, ένας μόνο έλληνας δεν θα έχει κανένα φίλο, ένας ακριβώς έλληνας θα έχει ένα φίλο, ένας ακριβώς έλληνας θα έχει δύος φίλους,ένας ακριβώς έλληνας θα έχει τρείς φίλους,...,ένας ακριβώς έλληνας θα έχει Ν-1 φίλους.

Πρόσεξε ότι ο τελευταίος έλληνας, έχει φίλους Ν-1 έλληνες. Δηλαδή έχει φίλους όλους τους έλληνες (αφού όλοι οι έλληνες είναι Ν το πλήθος) εκτός τον ευαυτό του. Σύμφωνα, με την αμοιβαιότητα, όλοι οι Ν-1 φίλοι αυτού του έλληνα, θα έχουν τουλάχιστο έναν φίλο: τον έλληνα αυτόν!!!!
άρα δεν μπορεί να υπάρχει έλληνας που δεν έχει κανένα φίλο!!!!! Εμείς όμως είπαμε ότι θα υπάρχει ακριβώς ένας έλληνας που θα έχει 0 φίλους (=κανένα φίλο)
δηλαδή το Α' είναι ΑΔΥΝΑΤΟ. Με άλλα λόγια έχει πιθανότητα ίση με μηδέν.
Και αφού Α' + Α = 1, άρα το ενδεχόμενο Α είναι σίγουρο (=1).
Οπότε η πιθανότητα τουλάχιστο δύο έλληνες να έχουν το ίδιο πλήθος από έλληνες φίλους είναι 100%

σου προτείνω το Ο σατανάς o Cantor και το άπειρο" εκδόσεις Κάτοπτρο ... είναι τουλάχιστο το ίδιο διασκεδαστικό με το "την Κυρία ή την Τίγρη;"

Alexandros είπε...

Ευχαριστώ πολύ!!!

Φανταζόμουν ότι η πιθανότητα να διαβάσει το ιστολόγιο κάποιος με τις γνώσεις σου , θα έτεινε προς το μηδέν , αλλα τελικά διαψεύστηκα. Να είσαι καλα.

tomorrow's patries είπε...

εγώ ευχαριστώ, που μ'έκανες να ξαναθυμηθώ κάτι παλιές ιστορίες... με αφορμή το βιβλίο που αναφέρεις και να παιδέψω το μυαλό μου.
(ευτυχώς έχει δροσίσει εδώ και μέρες, γιατι αλλιώς δεν επρόκειτο να μπορούσα να βρώ λύση!!!!)

αλλά δεν είμαι ούτε μαθηματικός, ούτε κατέχω ειδικές γνώσεις. Άλλωστε η λύση δεν απαιτεί ιδιαίτερες γνώσεις ή μαθηματική δυνότητα.