Παρασκευή, 2 Νοεμβρίου 2007

Οι υπέροχοι και μυστήριοι αριθμοί Fibonacci

Πριν χρόνια , είχα "αλιεύσει" το παρακάτω κείμενο από την ιστοσελίδα http://www.e-telescope.gr/ :


Οι αριθμοί Fibonacci είναι το αριθμητικό σύστημα της φύσης. Εμφανίζονται παντού στη φύση, από τη διάταξη των φύλλων στα φυτά μέχρι το μοτίβο των πετάλων στα λουλούδια, τις πευκοβελόνες, ή τα στρώματα του φλοιού ενός ανανά. Φαίνεται πώς οι αριθμοί Fibonacci σχετίζονται με την ανάπτυξη κάθε ζωντανού οργανισμού, ενός κυττάρου, ενός σπυριού σταριού, μιας κυψέλης μελισσών, ακόμα της ίδιας της ανθρωπότητας.


Η ακολουθία αριθμών στην οποία ο κάθε αριθμός είναι ίσος με το άθροισμα των δύο προηγούμενων είναι γνωστή ώς ακολουθία Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, ... (κάθε αριθμός είναι ίσος με το άθροισμα των δύο προηγούμενων).
Επιπλέον, ο λόγος δύο διαδοχικών αριθμών της ακολουθίας τείνει προς την αποκαλούμενη Χρυσή Τομή, ή Χρυσή αναλογία, ή Αριθμό φ =1.618033989. Ο αντίστροφος της Χρυσής Τομής 1/φ= 0.618033989, με αποτέλεσμα να ισχύει: 1/φ=φ-1.
Ένα ορθογώνιο τετράπλευρο του οποίου ο λόγος των πλευρών είναι ίσος με 1/φ ονομάζεται Χρυσό Ορθογώνιο.
Η ακολουθία Fibonacci παράγεται από τη σχέση f(1) = f(2) = 1 , f(n+1) = f(n) + f(n-1), και απαντάται συχνά σε πολλούς τομείς των μαθηματικών και των άλλων επιστημών. Είναι όμως σημαντικό και το πόσο συχνά συναντάται στη φύση, σε μοτίβα όπως τα λουλούδια ή τα φύλλα των φυτών.

Ο Fibonacci ήταν πολύ γνωστός στην εποχή του και αναγνωρίζεται σήμερα ώς ο μεγαλύτερος μαθηματικός του Μεσαίωνα. Γεννήθηκε στη δεκαετία του 1170 και πέθανε αυτή του 1240. Άγαλμά του υπάρχει στο νεκροταφείο, δίπλα στον Καθεδρικό Ναό της Pisa, κοντά στον περίφημο πύργο. Το όνομά του έχει δοθεί σε δύο δρόμους, στην Pisa και τη Φλωρεντία. Το πραγματικό του όνομα ήταν Leonardo Pisano, όμως ο ίδιος αποκαλούσε τον εαυτό του Fibonacci, σύντμηση του Filius Bonacci (γιός του Bonacci), από το όνομα του πατέρα του. Ο πατέρας του Leonardo, Guglielmo Bonacci, ήταν τελωνειακός υπάλληλος στη Βορειοαφρικανική πόλη Bugia. Ο Fibonacci μεγάλωσε εκεί και η εκπαίδευσή του επηρεάστηκε σημαντικά από τους Μαυριτανούς αλλά και από τα ταξίδια που έκανε αργότερα σε όλο το μήκος της Μεσογειακής ακτής. Έτσι γνώρισε πολλούς εμπόρους και έμαθε τα αριθμητικά συστήματα που αυτοί χρησιμοποιούσαν για τις συναλλαγές και τους λογαριασμούς τους. Σύντομα διαπίστωσε τα πλεονεκτήματα του «Ινδοαραβικού» αριθμητικού συστήματος και έγινε από τους πρώτους που το εισήγαγαν στην Ευρώπη. Πρόκειται για το αριθμητικό σύστημα που χρησιμοποιείται και σήμερα, με δέκα ψηφία, ένα εκ των οποίων το μηδέν, και την υποδιαστολή.
Το βιβλίο του Liber abbaci (βιβλίο των υπολογισμών) το οποίο ολοκληρώθηκε το 1202 έπεισε αρκετούς Ευρωπαίους μαθηματικούς να χρησιμοποιήσουν το «νέο» σύστημα. Το βιβλίο, γραμμένο στα λατινικά, περιγράφει με λεπτομέρεια τους μαθηματικούς κανόνες που σήμερα διδάσκονται στο δημοτικό για την πρόσθεση, την αφαίρεση, τον πολλαπλασιασμό και τη διαίρεση και περιέχει πολλές ασκήσεις-παραδείγματα με λεπτομέρειες για την εφαρμογή αυτών των κανόνων.


Τα φυτά δε γνωρίζουν για την ακολουθία Fibonacci, απλά μεγαλώνουν με τον πιο πρόσφορο και αποδοτικό τόπο. Όμως η ακολουθία κάνει την εμφάνισή της στη διάταξη των φύλων γύρω από το μίσχο. Εμφανίζεται επίσης στην ανάπτυξη των βελόνων αρκετών ειδών ελάτου, καθώς επίσης και στη διάταξη των πετάλων στις μαργαρίτες και τα ηλιοτρόπια. Μερικά κωνοφόρα δένδρα παρουσιάζουν τη σειρά αριθμών στη δομή της επιφάνειας των κορμών τους, ενώ τα φοινικόδενδρα στους δακτυλίους των κορμών τους.
Όμως πώς προκύπτει αυτή η διάταξη, αυτή η συμμετρία σε σχέση με την ακολουθία; Στην περίπτωση του φυλλώματος μπορεί να σχετίζεται με τη μεγιστοποίηση του χώρου που είναι διαθέσιμος για την ανάπτυξη κάθε φύλλου ή το φώς πρέπει να πέφτει πάνω στο κάθε φύλλο. Η φύση προφανώς δεν προσπαθεί να χρησιμοποιήσει την ακολουθία Fibonacci, αυτή εμφανίζεται ώς το δευτερεύον αποτέλεσμα μιας πολύ βαθύτερης φυσικής διαδικασίας.
Ένα άλλο παράδειγμα είναι το ίδιο το ανθρώπινο χέρι: κάθε άνθρωπος έχει 2 χέρια, κάθε ένα από τα οποία έχει 5 δάκτυλα, κάθε δάκτυλο αποτελείται από 3 τμήματα που χωρίζονται από 2 αρθρώσεις. Όλοι αυτοί οι αριθμοί ανήκουν στην ακολουθία Fibonacci.
Η γνώση του αριθμού φ και του χρυσού ορθογωνίου ανάγεται στους αρχαίους Έλληνες οι οποίοι βάσισαν πάνω τους το πιο γνωστό έργο τέχνης: ο Παρθενώνας είναι γεμάτος από χρυσά ορθογώνια. Οι μαθητές του μαθηματικού και φιλοσόφου Πυθαγόρα έφταναν στο σημείο να θεωρούν τη χρυσή αναλογία, θεόπνευστη.
Αργότερα ο Leonardo Da Vinci ζωγράφισε το πρόσωπο της Mona Lisa ώστε αυτό να χωράει τέλεια σε ένα χρυσό ορθογώνιο και δόμησε τον υπόλοιπο πίνακα γύρω από το πρόσωπο χωρίζοντάς τον επίσης σε χρυσά ορθογώνια.
Ο Mozart διαίρεσε μεγάλο αριθμό από τις σονάτες του σε δύο μέρη, η χρονική αναλογία των οποίων αντιστοιχεί στη χρυσή τομή, τον αριθμό φ, αν και υπάρχει σημαντική διχογνωμία για το κατά πόσο αυτό έγινε σκόπιμα. Πιο πρόσφατα ο Ούγγρος συνθέτης Mela Bartok και ο Γάλλος αρχιτέκτονας Le Corbusier χρησιμοποίησαν σκόπιμα τη χρυσή αναλογία στα έργα τους. Όμως ακόμα και ο χριστιανικός σταυρός αποτελείται από δύο κάθετες μεταξύ τους γραμμές με την αναλογία ανάμεσα στην κατακόρυφη και την οριζόντια να μην είναι άλλη από τον αριθμό φ.
Ακόμη και σήμερα η χρυσή αναλογία απαντάται σε πλήθος αντικείμενα φτιαγμένα από τον άνθρωπο. Αν θέλει κανείς να δει ένα χρυσό ορθογώνιο αρκεί να κοιτάξει μια πιστωτική κάρτα το σχήμα της οποίας είναι ακριβώς αυτό.
Οι πολυάριθμες εμφανίσεις της χρυσής αναλογίας, και των χρυσών ορθογωνίων στην τέχνη, είναι αντικείμενο συζητήσεων και ερευνών μεταξύ των ψυχολόγων για το κατά πόσο οι άνθρωποι αντιλαμβάνονται το χρυσό ορθογώνιο για παράδειγμα, ώς πιο όμορφο και αρμονικό σχήμα από οποιοδήποτε άλλο ορθογώνιο. Το 1995 ο καθηγητής Christopher Green του Πανεπιστημίου York στο Toronto, σε ένα άρθρο του στο περιοδικό Perception παρουσιάζει τα αποτελέσματα μιας σειράς πειραμάτων που δεν έδειξαν κάποια μετρήσιμη προτίμηση για το χρυσό ορθογώνιο, δεν παραλείπει όμως να αναφέρει ότι αρκετοί άλλοι συνάδελφοί του έχουν αντίστοιχα δεδομένα που υποδηλώνουν ακριβώς το αντίθετο, ότι δηλαδή υπάρχει μια τέτοια τάση.
Πέρα όμως από τα επιστημονικά δεδομένα η χρυσή αναλογία, ο αριθμός φ, περιβάλλεται από ένα πέπλο μυστηρίου, κυρίως γιατί εντυπωσιακές προσεγγίσεις του απαντώνται, εντελώς απρόσμενα σε ένα σωρό μέρη στη φύση. Ακόμα και μια τομή του ανθρώπινου DNA φαίνεται να ενσωματώνεται άψογα σε ένα χρυσό δεκάγωνο. Η χρυσή αναλογία και τα σχήματα που σχετίζονται με αυτή συνεχίζουν να κινούν το ενδιαφέρον των μαθηματικών, αλλά και των απλών ανθρώπων.

4 σχόλια:

s_pablo είπε...

Πριν από μερικά χρόνια είχα δει ένα ντοκυμαντερ για το ανθρώπινο πρόσωπο. Εκεί έδειχναν μια "μάσκα" αποτελούμενη από πολύγωνα (νομίζω έμπνευσης Da Vinci) βασισμένα στον αριθμό φ, η οποία εφάρμοζε τέλεια στις φωτογραφίες αυτών των προσώπων που θεωρούμε (και προφανώς είναι) όμορφα.

Αν θυμάμαι είχαν χρησιμοποιήσει πρόσωπα διάφορων ηθοποιών και μοντέλων, ενω σε αντιδιαστολή ο παρουσιαστής John Cleese είχε εφαρμόσει τη "μάσκα" αυτή σε μια φωτογραφία του, αποδεικνύοντας ότι δεν συμπίπτει με άσχημα πρόσωπα (το χιούμορ του, βέβαια, φτάνει για να του προσδώσει όση γοητεία χρειάζεται).

Πάντως, η ακολουθία Fibonacci είναι ίσως η πιο τρανταχτή απόδειξη ότι τα μαθηματικά είναι η γλώσσα του σύμπαντος.

ΥΓ. Μια παρατήρηση που έκανα μόλις τώρα. Κανείς ιερός αριθμός, εκτός του 3, δεν είναι αριθμός Fibonacci. Προφανώς, η ανθρώπινη κοινωνία και οι φυλετικές και θρησκευτικές δοξασίες της δεν αποτελούν και το φυσικότερο πράγμα!!!

ΥΓ2. Μάλλον από λάθος πληκτρολόγηση έχεις γράψει Mela αντί για Bela Bartok.

Alexandros είπε...

S-pablo , την μάσκα που λες την είχε και στο κείμενο που βρήκα στην ιστοσελίδα!
Να πω την αλήθεια δεν έχω συγκεντρωμένους στο μυαλό μου τους ιερούς αριθμούς , οπότε δεν θα μπορούσα να κάνω ποτέ αυτήν την παρατήρηση. Δεν παίζεσαι! Σχεδόν πάντα έχεις κάτι επικοδομητικό να προσθέσεις

gatti είπε...

Πολύ καλό ποστ. Ηξερα για τους αριθμούς Fibonacci αλλά όχι με τόσο πολλές, εντυπωσιακές πραγματικά, λεπτομέρειες.

Χρήση τους έκανε και ο Νταν Μπράουν στον "Κώδικα Ντα Βίντσι" και τους έχω συναντήσει και σε αρκετά άλλα βιβλία που περιλαμβάνουν μέσα κώδικες που πρέπει να αποκρυπτογραφηθούν με κάποιον τρόπο.

Δεν αποκλείεται και ο Μότσαρτ να έγραψε σκόπιμα τις συνθέσεις του μ΄ αυτόν τον τρόπο. Αλλωστε και η μουσική είναι μαθηματικά. Μια φίλη μάλιστα που σπούδαζε πιάνο μου είχε πει πως όσο καλύτερη σχέση έχεις με τα μαθηματικά (όχι υποχρεωτικά ως μαθηματικούς τύπους, αλλά κυρίως ως αντίληψη) τόσο καλύτερα μπορείς να αντιληφθείς τη μουσική (την κλασική κυρίως).

ΥΓ. Eίναι όντως άπαιχτος ο s_pablo. Ενα μεγάλο ελάττωμα έχει μόνο: Eίναι γαύρος! :-p

Alexandros είπε...

Καλημέρα gatti

Αν και θλιμμένος από την ¨επαγγελματική" νίκη του γηραιού, βρίσκω το κουράγιο να ασχοληθώ με τους αριθμούς fibonacci , αντί να ασχοληθώ με τα ποσοστά ευστοχίας του Ζορρό και του Λύμπε απέναντι στην αντίπαλη εστία. Είναι πιο εύκολο να εξηγήσεις την ακολουθία του Fibonacci παρά αυτό το αποτέλεσμα.

Ο πρώτος που είχε συνδέσει την μουσική με τα μαθηματικά ήταν ο μέγας Πυθαγόρας στην σχολή του στον Κρότονα. Διαπίστωσε ότι όταν χτυπάς ένα αντικείμενο (π.χ. ένα μέταλλο) ακολουθόντας συγκεκριμένες υποδιαιρέσεις του μήκους του , ο ήχος που "βγαίνει" είναι αρμονικός.